Периметр треугольника ABC равен 18. На сторонах AC и BC взяты точки M и N так что прямая NM парал-на AB и кас впис окр. Найти ab если mn=2
Пусть S - площадь АВС, а искомая сторона АВ = х. Радиус вписанной окружности, как известно равен: r = S/p, где р - полупериметр, то есть в нашей задаче: r = S/9 Итак MN || AB. Значит тр-ки CMN и ABC - подобны и коэффициент подобия равен: MN/AB = 2/x Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: S(CMN)/S = 4/x² Отсюда площадь тр-ка CMN: S(CMN) = (4S)/x² Другая часть, на которую прямая MN разбила исходный тр-к АВС, - это трапеция AMNB с основаниями х и 2 и высотой равной диаметру вписанной окр-ти, то есть (2S)/9. ЕЕ площадь: S(AMNB) = ½*(x+2)*(2S)/9 = (x+2)S/9 Теперь можем расписать площадь всего тр-ка АВС: S = S(AMNB) + S(CMN) Или: S = (x+2)S/9 + (4S)/x² Сократив на S и домножив на общий знаменатель, получим уравнение для х: х³ - 7х² + 36 = 0 Данное кубическое уравнение легко раскладывается на множители: (х³ - 6х²) - (х² - 36) = 0 х²(х - 6) - (х - 6)(х + 6) = 0 (х - 6)(х² - х - 6) = 0 (х - 6)(х - 3)(х + 2) = 0 Корень -2 отбрасываем Ответ: АВ = 6 или 3 - оба корня подходят
