Вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности, причем АС – биссектриса угла DAB. Докажите, чтоАСхBD=ADхDC+ABхBC.
Вот ничего задачка, "пятиминутка" (в смысле, что для решения надо потратить сколько то времени, ну хоть 5 минут) Пусть М - точка пересечения диагоналей. Угол ВМА = угол CAD + угол BDA; угол САD = угол САВ (АС - биссектриса); угол САВ = угол CDB; поэтому угол ВМА = угол CDA; Конечно, угол СВА = 180 - угол CDA = угол DMA; если сумма углов 180 градусов, то синусы у них равны. Осталось выразить площадь четырехугольника через диагонали S = BD*AC*sin(Ф)/2 (Ф = угол ВМА = угол CDA = 180 - угол СВА = 180 - угол DMA) - это легко получить, просто сложив (MD*AM + MB*AM + MB*MC + MC*MD)*sin(Ф)/2; и - то же самое - через стороны четырехугольника S = (CD*AD + AB*BC)*sin(Ф)/2; отсюда сразу получается нужное соотношение.
