. В некоторой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований трапеции, а угол между диагоналями равен 60 градусов. Доказать, что этатрапеция равнобокая
Пускай нам дана трапеция ABCD (ВС и АD - основания) , ее диагональ АС = ВС + AD угол между диагоналями АС и ВD равен 60° Доказать, что АВСD - равнобедренная трапеция Доказательство: проведем из пункта В прямую к диагонали АС (пункт пересечения обозначим О), так, что ВС = СО тогда АО = АС - СО = (ВС + AD) - ВС = AD имеем два равнобедренных треугольника ∆ВСО (ВС = СО) и ∆AOD (АО = AD) <CBO = <COB (∆BCO- равнобедренный) <AOD = <ADO (∆AOD- равнобедренный) <BCO = <OAD (накрест лежащие) ==> <CBO = <COB = <AOD = <ADO Раз <AOD = <BOC, а стороны АО и СО этих углов лежат на одной прямой, то <AOD и < BOC -вертикальные и значит ВО и OD лежат на одной прямой ==> O - пункт пересечения диагоналей AC и BD тогда <BOC = AOD = 60° (по условию) <CBO = <COB = <AOD = <ADO = 60° <BCO = <OAD = 180 - <AOD - <ODA = 60° ==> ==> ∆BCO и ∆AOD - равносторонние BC = CO = OB (∆BCO - равносторонний) AO = OD = AD (∆AOD - равносторонний) <BOA = <COD (вертикальные) ==> ==> ∆BOA = ∆COD (по двум сторонам и углу между ними) значит BA = CD и делаем вывод, что ABCD - равнобедренная трапеция всё =)
