В основании пирамиды...

Тема в разделе "Геометрия", создана пользователем tolik28, 3 фев 2010.

  1. tolik28

    tolik28 New Member

    В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB:AD=1:2. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом в 60градусов. На ребрах МА, МВ, МС взяты соответственно точки P, Q, R (середины этих ребер). Найти углы, которые образуют с плоскостью МАС следующую прямую: DP
     
  2. Doktor

    Doktor New Member

    Вершина M пирамиды MABCD проектируется в точку O. Введем
    систему координат следующим образом:
    точку O примем за начало координат,
    оси Ox и Oy направим параллельно сторонам основания,
    а ось Oz— вдоль высоты пирамиды OM.
    Выразим координаты точек:
    A(–4; –2; 0), B(–4; 2; 0), C(4; 2; 0),
    D(4; –2; 0), M(0; 0; 2 15 ,)
    R(2; 1; 15 .)
    Отрезок AR является высотой
    в равностороннем треугольнике AMC,
    поэтому прямая MR перпендикулярна ребру AR искомого 
    двугранного угла.
    Проведем в треугольнике ADR высоту DH.
    Тогда останется найти  угол между прямыми MR и DH.
    Найдем координаты векторов:
    MR = {2; 1;- корень из 15 }
    AR = {6; 3; корень из15 }
    DA = {- 8; 0; 0}.
    Так как векторы AH и AR - коллинеарны, то 
    AH = k AR= ⋅ = {6k ; 3k ; корень из15 k}
    Далее из равенства DH=DA+AH получаем 
    DH= − {6k- 8;3k ; корень из15 k }

    Теперь, используя условие DH ⊥ AR 
    имеем уравнение
    6(6k – 8) + 9k + 15k = 0.
    Отсюда k = 0,8 и DH = {−3,2; 2,4; 0,8 корень из15 . }

    Так как MR и DH — направляющие векторы прямых MR и 
    DH соответственно, то для нахождения угла между этими прямыми
    воспользуемся формулой :
     


    cos ϕ=
     
     
    в числителе   | - 6, 4 + 2, 4 - 12 | 
     
    в знаметалеле под первым корнем : корень из 20  умнижить на корень из 25,6
    получаем cos ϕ= корень из 2 на 2
    Значит, угол между прямыми MR и DH и угол между данными
    плоскостями равен = π/4

    Ответ: π/4
     

Поделиться этой страницей

Наша группа