В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB:AD=1:2. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом в 60градусов. На ребрах МА, МВ, МС взяты соответственно точки P, Q, R (середины этих ребер). Найти углы, которые образуют с плоскостью МАС следующую прямую: DP
Вершина M пирамиды MABCD проектируется в точку O. Введем систему координат следующим образом: точку O примем за начало координат, оси Ox и Oy направим параллельно сторонам основания, а ось Oz— вдоль высоты пирамиды OM. Выразим координаты точек: A(–4; –2; 0), B(–4; 2; 0), C(4; 2; 0), D(4; –2; 0), M(0; 0; 2 15 ,) R(2; 1; 15 .) Отрезок AR является высотой в равностороннем треугольнике AMC, поэтому прямая MR перпендикулярна ребру AR искомого двугранного угла. Проведем в треугольнике ADR высоту DH. Тогда останется найти угол между прямыми MR и DH. Найдем координаты векторов: MR = {2; 1;- корень из 15 } AR = {6; 3; корень из15 } DA = {- 8; 0; 0}. Так как векторы AH и AR - коллинеарны, то AH = k AR= ⋅ = {6k ; 3k ; корень из15 k} Далее из равенства DH=DA+AH получаем DH= − {6k- 8;3k ; корень из15 k } Теперь, используя условие DH ⊥ AR имеем уравнение 6(6k – 8) + 9k + 15k = 0. Отсюда k = 0,8 и DH = {−3,2; 2,4; 0,8 корень из15 . } Так как MR и DH — направляющие векторы прямых MR и DH соответственно, то для нахождения угла между этими прямыми воспользуемся формулой : cos ϕ= в числителе | - 6, 4 + 2, 4 - 12 | в знаметалеле под первым корнем : корень из 20 умнижить на корень из 25,6 получаем cos ϕ= корень из 2 на 2 Значит, угол между прямыми MR и DH и угол между данными плоскостями равен = π/4 Ответ: π/4
