В правильной четырех угольной пирамиде МАВСД с вершиной М стороны основания 4 а боковые ребра равны 8 Найдите площадь сечения пирамиды плоскостькоторой проходит через точку В и середину МД параллельной прямой АС
искомое сечение - симметричный четырехугольник BPKL диагонали PL , BK пересекаются под углом 90 град по условию стороны основания AB=BC=CD=AD =4 боковые ребра MA=MB=MC=MD =8 точка К - середина ребра MD ; KD = MD /2 = 8/2=4 ABCD -квадрат диагональ AC = BD = 4√2 пересечение диагоналей точка F : BF =FD = BD/2 =4√2 /2 =2√2 BK - медиана треугольника MBD длина медианы BK = 1/2 √(2 BM^2 +2 BD^2 - MD^2 ) =1/2 √(2*8^2 +2*(4√2)^2 - 8^2 ) =4√2 по теореме косинусов cos KBD = ( KD^2 - (BK^2+BD^2) )/ (-2*BK*BD)= ( 4^2 - ((4√2)^2+(4√2)^2) )/ (-2*4√2*4√2)= 3/4 MF - высота треугольник EBF - прямоугольный BE = BF / cos KBD = 2√2 / 3/4 = 8√2/3 KE = BK - BE =4√2 -8√2/3 =4√2/3 по теореме Пифагора EF =√(BE^2 - BF^2) =√( (8√2/3)^2 - (2√2)^2) =2√14/2 MF - высота треугольник MFB - прямоугольный по теореме Пифагора MF =√( MB^2 -BF^2) =√( 8^2- (2√2)^2 ) =2√14 ME =MF -EF =2√14 -2√14/2 = 2√14/2 треугольники MPL ~ MCA подобные PL / AC = ME /MF ; PL = AC * ME /MF = 4√2 * 2√14/2 /2√14 =2√2 площадь сечения(четырехугольника BPKL) Sс = PL*BK *sin<BEP /2 = 2√2*4√2*sin90 /2 = 8 Ответ 8
