В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3,а боковые рёбра равны 8.Найдите площадь сечения пирамидыплоскостью,проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.
искомое сечение - симметричный четырехугольник BPKL диагонали PL , BK пересекаются под углом 90 град по условию стороны основания AB=BC=CD=AD =3 боковые ребра MA=MB=MC=MD =8 точка К - середина ребра MD ; KD = MD /2 = 8/2=4 ABCD -квадрат диагональ AC = BD = 3√2 пересечение диагоналей точка F : BF =FD = BD/2 =3√2 /2 =1.5√2 BK - медиана треугольника MBD длина медианы BK = 1/2 √(2 BM^2 +2 BD^2 - MD^2 ) =1/2 √(2*8^2 +2*(3√2)^2 - 8^2 ) =5 по теореме косинусов cos KBD = ( KD^2 - (BK^2+BD^2) )/ (-2*BK*BD)= ( 4^2 - (5^2+(3√2)^2) )/ (-2*5*3√2)= 9/(10√2) MF - высота треугольник EBF - прямоугольный BE = BF / cos KBD = 1.5√2 / [ 9/(10√2)] = 10/3 по теореме Пифагора EF =√(BE^2 - BF^2) =√( (10/3)^2 - (1.5√2)^2) =√238/6 MF - высота треугольник MFB - прямоугольный по теореме Пифагора MF =√( MB^2 -BF^2) =√( 8^2- (1.5√2)^2 ) =√238/2 ME =MF -EF =√238/2- √238/6= √238/3 треугольники MPL ~ MCA подобные PL / AC = ME /MF ; PL = AC * ME /MF = 3√2 * √238/3 /√238/2 =2√2 площадь сечения(четырехугольника BPKL) Sс = PL*BK *sin<BEP /2 = 2√2*5*sin90 /2 = 5√2 Ответ 5√2
