В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 72°,биссектриса этого угла равна √20.Найдите сторонытреугольника.
Это очень интересный треугольник - из него можно легко найти алгебраические выражения для тригонометрических функций углов, кратных 18 градусам. Легко видеть (сосчитайте величину углов в этих треугольниках, они все будут либо 72, либо 36 градусов, и в каждом есть пара равных углов), что биссектриса угла при основании делит треугольник на 2 равнобедренных, то есть биссектриса равна основанию треугольника и - одновременно - равна отрезку боковой стороны, от вершины, противоположной основанию, до конца биссектрисы. Итак, основание равно √20 = 2*√5. Если обозначить боковую сторону за а, то из свойства биссектрисы а/√20 = √20/(а - √20); a^2 - 2*√5*a = 20; (a - √5)^2 = 25; a = √5 + 5; Легко видеть, что cos(72) = √5/(√5 + 5) = 1/(√5 + 1) = (√5 -1)/2 ;
