В треугольник со сторонами 20 34 42 вписан прямоугольник с периметром 40 так что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. найдите стороныпрямоугольника
по формуле Герона считаем площадь, S = 336; (полупериметр 48, остальные сомножители 28, 14 и 6) Отсюда высота к стороне 42 равна H = 2*336/48 = 16; Далее очевидная пропорция, поскольку верхняя сторона прямоугольника отсекает подобный треугольник (x - сторона II основанию 42, y - сторона II высоте H = 16) (16 - y)/16 = x/42; (отношение высот равно отношению оснований) x + y = 20; (дано в условии) Решаем эту систему 2 уравнений с 2 неизвестными, получаем х = 84/13; y = 176/13; Это альтернативное решение, без использования формулы Герона. Но Все равно, все сводится к тому, чтобы найти высоту к стороне 42, это можно сделать и без формулы Герона, применив теорему Пифагора к 2 треугольникам, которые получаются, если провети эту высоту... пусть АВ=20 ВС=34 АС=42 пусть Н - основание высоты, опущенной из точки В на АС, то есть ВН - высота. Тогда: АН^2+BH^2 = 20^2; CH^2+BH^2 = 34^2; CH+AH = 42; Из первых двух уравнений имеем 34^2-20^2 = CH^2 - AH^2; Отсюда 756 = 42*(СH - AH); CH-AH = 18; Теперь уже совсем легко CH=30 AH= 12 BH=16; Нашли высоту и как её основание делит противоположную сторону. Если рассмотреть треугольник, образованный сторонами АВ ВС и верхней стороной вписанного прямоугольника (паралельной АВ), то он совершенно подобен АВС. В том числе высота ВН делит его основание в той же пропорции 12/30, то есть 2/5. То есть отрезку АН =12 соответствует 2/7 верхней стороны прямоугольника. Если обозначить стороны прямоугольника за х и у, то из подобия треугольников следует,что (16-x)/(2*y/7) = 16/12; Ну, и 2*(х+у) = 40; (по условию, периметр прямоугольника) Кстати, получается очень ГОВОРЯЩЕЕ соотношение 1 = x/16 + y/42; интересно, можно ли его сразу увидеть? В любом случае, дальше элементарно. x+y = 20; 21*x+8*y = 336; (просто помножил 1=х/16+y/42 на 336) 336 = 21*x + 8* (20-x); 176 = 13*x; x = 13+7/13; y = 6+6/13; Кривой какой-то ответ
