Доказательство №1 (простейшее)Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема.В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ΔABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.Доказательство №2Пусть Т - прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. а). Докажем, что с2=а2+Ь2.Построим квадрат Q со стороной а+Ь(рис. б).На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, Dтак, чтобы отрезки АВ, ВС,CD, DAотсекали от квадратаQпрямоугольные треугольники Т1, Т2, Т3, Т4с катетами а и b. Четырехугольник ABCDобозначим буквой Р. Покажем, что Р - квадрат со стороной с.Все треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые.Пусть a и b - величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно,a+b = 90°. Угол при вершине Ачетырехугольника Р вместе с углами, равными a и b, составляет развернутый угол. Поэтому a+b =180°. И так как a+b = 90°, то g=90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р - квадрат со стороной с.Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенствоS(Q)=S(P)+4S(T).Так как S(Q)=(a+b)2; S(P)=c2 и S(T)=½a*b, то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство (a + b)2 = c2 + 4*½a*b. Поскольку (a+b)2=a2+b2+2*a*b, то равенство (a+b)2=c2+4*½a*b можно записать так: a2+b2+2*a*b=c2 +2*a*b.Из равенства a2+b2+2*a*b=c2+2*a*b следует, что с2=а2+Ь2. ч.т.д.Доказательство №3Пусть ΔАВС - данный прямоугольный треугольник с прямым угломС. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.По определению косинуса угла(Косинусом острого угла прямоугольного треугольниканазывается отношение прилежащего катета к гипотенузе)соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC2. Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС2. Складывая полученные равенства почленно и замечая, чтоAD+DB=AB, получим:АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2. Теорема доказана.Доказательство №4Площадь прямоугольного треугольника:S=½*a*b или S=½(p*r)(для произвольного треугольника); p - полупериметр треугольника; r - радиус вписанной в него окружности. r = ½*(a + b - c) - радиус вписанной в любой треугольник окружности. ½*a*b = ½*p*r = ½(a + b + c)*½(a + b - c); a*b = (a + b + c)*½(a + b - c); a + b=x; a*b = ½(x + c)*(x - c)*a*b = ½(x2-c2) a*b = ½(a2 + 2*a*b + b2 - c2) a2 + b2 - c2 = 0, значит a2 + b2 = c2Доказательство №5Дано:ΔАВС - прямоугольный треугольникAJ - высота, опущенная на гипотенузуBCED - квадрат на гипотенузеABFH и ACKJ - квадраты построенные на катетах. Доказать:Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (Теорема Пифагора). Доказательство:1. Докажем, что прямоугольник BJLD равновелик квадратуABFH, ΔABD=ΔBFS (по двум сторонам и углу между ними BF=AB; BC=BD; уголFBS=ABD).Но! SΔABC=½SBJLD, т.к. у ΔABC и прямоугольника BJLDобщее основание BD и общая высота LD. Аналогично SΔFBS=½SABFH(BF-общее основание, AB - общая высота). Отсюда, учитывая, чтоSΔABD= SΔFBS, имеем: SBJLD=SABFH. Аналогично, используя равенство треугольника ΔBCK и ΔACE, доказывается, что SJCEL=SACKG. Итак,SABFH+SACKJ=SBJLD + SBCED.
