Докажите, что:а) если функция монотонна на положительной части области определения, то она имеете противположный характер монотонности на отрицательно части области определения; б)если нечётная функция монотонна на положительной части области определения, то оан имеет тот же характер монотонности на отрицательной части области определиния.
Комбинированные уравнения, в состав которых входит хотя бы одна неограниченная функция, следует попробовать решить, применив свойство монотонных функций. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными. Если на области определения уравнения f(x) = g(x) функция f(x) возрастает (убывает), а функция g(x) убывает (возрастает), то тогда уравнение не может иметь более одного корня. Можно сказать конкретнее и понятнее. Если функция y = f(x) монотонно возрастает (убывает), а функция y = g(x) монотонно убывает (возрастает) на некотором промежутке и х – корень уравнения f(x) = g(x), то он единственный на этом промежутке. Пример 1. Решить уравнение . Решение. Область определения уравнения - все положительные числа ( ). Кстати, для учеников существует проблема в применении понятий область определения уравнения и область допустимых значений (ОДЗ) переменной х. Аббревиатура ОДЗ приобрела самостоятельную жизнь и применяют ее, не понимая сути, иногда путая с допустимыми значениями функции. Любое уравнение можно привести к виду f(x) = 0 и считать уравнением частный случай функции у = f(x), когда она равна нулю. Область определения этой функции или допустимые значения переменной х - и есть область определения уравнения или область допустимых значений неизвестной переменной в этом уравнении. Очевидно, что - корень уравнения. Функция монотонно возрастает на всей области определения уравнения. Функция монотонно убывает на всей области определения уравнения. Следовательно, корень уравнения - единственный. Ответ: 2. Пример 2. Решить уравнение: . Решение. Область определения уравнения: . Функция монотонно возрастает на всей области определения уравнения. Функция монотонно убывает на всей области определения уравнения. Определить, есть ли у этого уравнения корень, попробуем графически. Построим графики функций в одной системе координат. Из построенного графика видно, что функции пересекаются в точке . Проверим, является ли число 1,5 корнем данного уравнения. Ответ: 1,5. Пример 3. Решить уравнение: . Решение. Область определения уравнения: . Функция монотонно убывает на всей области определения уравнения. Координаты вершины параболы . Квадратичная функция на области определения уравнения: а) монотонно убывает при . Значения функции изменяются при этом на промежутке . Значения функции при меняются следующим образом: . Уравнение на этом промежутке корней не имеет. б) монотонно возрастает при . Очевидно, что Значит х = 4 – единственный корень данного уравнения. Ответ: 4. Когда доказано, что функция в левой части уравнения монотонно возрастает (убывает), а в правой части - монотонно убывает (возрастает), то единственный корень уравнения, если он имеется, находят любым доступным способом.
