Доказать, что при...

Доказать, что при любом натуральном n 3^n+5^n+7^n+9^n кратно 4

 

n              | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10

3^n mod 4 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 
(3 mod 4 =3 дальше теорема умножения остатков)
5^n mod 4 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 (5 mod 4 =1 дальше теорема умножения остатков)
7^n mod 4 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 (7 mod 4 =3 дальше теорема умножения остатков)
9^n mod 4 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 (9 mod 4 =1 дальше теорема умножения остатков)
Дальше по теореме сложения остатков:
для нечетных n: 3+1+3+1=8 делится на 4
для четных n: 1+1+1+1=4 делится на 4
Следовательно делится на 4 для любого n