Завтра ГИА по алгебре,а я так не понимаю как решаются такие задачи.Помогите кто,чем может. В трапецию ABCD вписана окружность,касающаяся боковойстороны АВ в точке М такой,что ВМ:АМ=1:16.Известно,что ВС=3,АВ=17.Найдите радиус окружности,касающейся прямых AD,CD и касающейся окружности,вписанной в данную трапецию.
В трапецию ABCD вписана окружность, касающаяся боковой стороны АВ в точке М такой,что ВМ:АМ=1:16.Известно,что ВС=3,АВ=17.Найдите радиус окружности,касающейся прямых AD,CD и касающейся окружности,вписанной в данную трапецию. Обратим внимание на то, что окружность касается не сторон, а прямых. Значит. она находится не внутри трапеции, а вне. Сделаем рисунок. По свойству равенства отрезков касательных АМ=АЕ=16 ВМ=ВТ=1 ТС=СК=(3-1)=2 Найдем радиус вписанной в трапецию окружности. Опустим из вершины В высоту ВН. НЕ=ВТ=1 АН=16-1=15 Треугольник АВН прямоугольный. И отношение его сторон - из Пифагоровых троек. ВН=8 ( можно проверить по т. Пифагора). Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты. ОЕ=ОК=4. Треугольник СОD - прямоугольный ( боковая сторона трапеции из центра вписанной окружности всегда видна под прямым углом). Высота ОК этого треугольника ( радиус к СD в точку касания перпендикулярен) - среднее пропорциональное отрезков, на которое высота делит гипотенузу. ОК² =СК*КD 16=2*КD КD=16:2=8 В трапецию можно вписать окружность, если сумма противоположных ее сторон равна: АВ+СD=BC+AD 17+10=3+24 - стороны найдены верно. К - точка касания вписанной и вневписанной окружностей . КD=DE=8 DP=DК по свойсву отрезков касательных. ЕР=ЕD+DP=16 Проведем из центра О вписанной окружности к опущенному из центра О1 вневписанной окружности перпендикуляру на прямую АD отрезок ОХ параллельно ЕР. ОЕ и О1Р - перпендикуляры. ОХ|| ЕР. следовательно, ОХРЕ - прямоугольник. ОХ=ЕР=16 Рассмотрим прямоугольный треугольник ОО1Х. В нем ОО1- сумма радиусов двух окружностей ( оба перпендикулярны к общей касательной СD в одной точке) Тогда ОО1 =R+r О1Х=R-r r=4 По т. Пифагора (ОО1)²-(О1Х)²=(ОХ)² (R+4)²-(R-4)²=16² 16R=16² R=16 --------- Как вариант - вневписанная окружность находится не сбоку от данной трапеции, а ПОД ней. Тогда вторая половина решения ( после того, как найден отрезок KD=8) выглядит несколько иначе. Во втором рисунке дано решение из подобия четырехугольников КDEO и PDEO1. Разобраться в нем несложно. ----------- bzs@
