Задача на оптимизацию Сторона квадрата ABCD равна 8 см. На сторонах AB и BC взяты соответственно точки P и E так, что BP=BE=3 см. На сторонах AD и CDберутся точки, соответственно, K и M так, что четырехугольник KPEM - трапеция. Чему равна наибольшая площадь такой трапеции?
Сторона квадрата АВ = 8 см, ВР = ВЕ = 3 см. Поскольку КРЕМ - трапеция, то КМ параллельно РЕ, поэтому DK = DM = x. Длина одного основания РЕ = 3*корень(2), длина другого КМ = х*корень 2, меняется от 8*корень 2 до 0. Диагональ квадрата АС = BD = 8*корень(2). Точки К и М в одном крайнем положении совпадают с А и С, в другом - обе совпадают с D, тогда трапеция вырождается в треугольник. Два крайних положения показаны на Длина BN = PN = EN = 3*корень(2)/2. Длина DF = KF = MF = x*корень(2)/2. Длина OB = BD/2 = 4*корень(2) Высота трапеции FN = BD - BN - DF = 8*корень(2) - 3*корень(2)/2 - x*корень(2)/2. Площадь трапеции S = (PE + KM) * FN / 2 = (3*корень(2) + х*корень(2)) * (8*корень(2) - 3*корень(2)/2 - x*корень(2)/2) / 2 S = корень(2) * (3 + x) * корень(2) * (8 - 3/2 - x/2) / 2 = (3 + x)(16 - 3 - x)/2 = (3 + x)(13 - x)/2 -> max Неожиданно простая функция получилась. Дальше находим производную, и приравниваем к 0. S ' = [ (13 - x) - (3 + x) ] / 2 = (10 - 2x) / 2 = 5 - x = 0 x = 5 Ответ: точки К и М должны быть на расстоянии 5 см от точки D.
