Медианы боковых сторон равнобедренного треугольника пересекаются под углом 60°. Найдите угол при вершинетреугольника.
Поскольку в пересечении медиан образуется две пары вертикальных углов, каждая из которых может состоять из углов равных 60 градусам, то есть 2 решения, ответы в каждом из них будут разные. Я опишу один вариант, второй решается аналогично Треугольник АНС = треугольнику АМС (по трем сторонам: АН=МС (АМ и НС медианы, проведённые к боковым сторонам), АС общая сторона, НС=АМ). угол НОМ = углу АОС = (180 -60*2)/2 = 120 градусов( вертикальные углы) угол МАС = углу НСА = (180 -120)/2= 30 градусов (соответственные углы равных треугольников, а сумма углов треугольника ровна 180 градусов) Проведем среднюю линию НМ. Треугольник НМО подобен треугольнику АОС ( угол НОМ = углу АОС (вертикальные углы), а угол НМА = углу МАС (соответственные углы)) Найдем коэффициент подобия к (отношение соответственных сторон подобных треугольников) к= НМ/АС=2 (средняя линия в 2 раза меньше основания треугольника) Если к=2, то АО/ОМ=2/1. Проведем в треугольнике НМО высоту ОТ ,также она будет являться биссектрисой(НМО- равнобедренный), значит угол ТОМ = 120/2=60 градусов. ТОМ = 1/ 2 НО (напротив угла в 30 градусов лежит катет в 2 раза меньше гипотенузы) Треугольник АНО подобен треугольнику ТОМ (ТО/НО=1/ 2, ОМ/АО=1/2, угол ТОМ = углу НОА= 60 градусов) НАО= углу ТМО = 30 градусов (в подобных треугольниках соответственные углы равные) Угол ВСА = углу ВАС = угол НАО+ угол ОАС = 30+30=60 градусов Угол АВС = 180-60*2=60 градусов
