Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4,… выделить арифметическую прогрессию а) длиной 4б) длиной 5в) длиной k , где k ‐ любое натуральноечисло?
Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7... выделить арифметическую прогрессию а) длиной 4; б) длиной 5; в) длиной n, где n - любое натуральное число?Возьмём парочку произвольных членов последовательности и посчитаем их разность. Теперь продолжим начатую арифметическую прогрессию с найденной разностью: Если первые два числа привести к тому же знаменателю m(m + k), то получим: Чтобы прогрессия состояла из трёх членов данной последовательности, третья дробь должна сократиться, и при этом в числителе должна оказаться единица, т.е. знаменатель m(m + k) должен поделиться на числитель (m - k). Это произойдёт, например, при m = 2k. Получим прогрессию: Подставляя различные натуральные k, будем получать разные примеры прогрессий. Чтобы в четвёртом члене прогрессии при сокращении оказалась единица, знаменатель m(m + k) должен поделиться на числитель (m - 2k). Это произойдёт, например, при m = 3k: Потребуем теперь, чтобы сократилась пятая дробь. Возьмём m = 4k. Наша прогрессия: Чтобы во всех числителях оказалась единица (третья дробь подводит), возьмём k = 3: Присмотримся внимательно к прогрессии, найденной в самом начале решения: Числители образуют арифметическую прогрессию, знаменатели равны. Возьмём в качестве знаменателя n!, а в качестве числителей 1, 2, 3,.... ...
