На окружности радиуса 3 с центром в вершине равнобедренного треугольника АВС взята точка Р. Известно, что АВ=АС=5, ВС=6, а треугольники АРВ и АРСравновелики. Найдите расстояние от точки Р до прямой ВС, если известно что оно больше 6.
Расстояние от точки до прямой измеряется перпендикулярным отрезком из точки к прямой. Так как по условию известно, что искомое расстояние больше 6, ясно, что оно больше диаметра окружности с центром А. ( Центр этой окружности не может быть в точках В и С, так как тогда любое расстояние от Р до ВС не будет больше радиуса окружности. ) Пусть точка Р расположена на продолжении высоты АН треугольника ВАС. Тогда РН= R+АН АН из прямоугольного треугольника АНВ, где катет ВН=3, гипотенуза АВ=5 АН=√(АВ²-ВН²)=4 РН=3+4=7 При этом ᐃ АРВ и ᐃ АВС равновелики по общему основанию АР и равным высотам ВН и НС соответственно (высоты тупоугольных треугольников извершины острого угла находятся вне треугольника). Предположим,что точка Р расположена на полуокружности сбоку от продолжения АН. Тогда Р1Н1 также может быть больше диаметра окружности, т.е. больше 6. И основания треугольников будут равными - Р1А для обоих треугольников будет являться общим основанием. Но высоты ВК и СЕ этих треугольников равными не будут, потому и треугольники АРВ и АРС не могут быть равновеликими. Следовательно, точка Р расположена на пересечении продолжения высоты треугольника ВАС с окружностью, и расстояние от Р до ВС=7 .
