Определить экстремальные точки и точки перегиба кривых и построить кривые: 1)Y=((X^3)/6)-x^2 2)Y=e^(-x^2) 3)Y=(2x)/(1+x^2)4)Y=2^(1/x)
1) y=(x^3/6)-x^2 y '(x) = (3x^2/6)-2x=(x^2/2)-2x (x^2/2)-2x=0 x^2-4x=0 x(x-4)=0 Находим критические точки x=0 и x=4 Находим вторую производную y '' (x)=x-2 Определяем знак второй производной в критической точке f'' 0)<0 f''(4)>0 Следовательно, x=0 - точка максимума x=4 - точка минимума Находим точку перегиба f''(x)=0 x-2=0 x=2 - критическая точка второго рода Точка с абсциссой x=2 есть точка перегиба Находим ординату перегиба y(2)=8/6-4=-8/3 Таким образом точка (2; -8/3) - точка перегиба Функция возрастает от - бесконечности до 0 и от 4 до + бесконечности Функция убывает от 0 до 4 2) y=e^(-x^2) y ' =-2x*e^(-x^2) Находим критические точки -2x*e^(-x^2)=0 x=0 Находим вторую производную y ''(x)=-2*e^(-x^2)+4x^2*e^(-x^2)=e(-x^2)*(-2+4x^2) Определяем знак второй производной в критической точке y''(0)=-2 Следовательно, x=0 - точка максимума Находим точку перегиба f''(x)=0 e(-x^2)*(-2+4x^2)=0 (-2+4x^2)=0 4x^2=2 x^2=1/2 x=±sqrt(1/2)- критические точки второго порядка точки с абсциссами x=sqrt(1/2) и -sqrt(1/2) - точки перегиба выпуклостью вниз Находим ординаты перегиба y(-sqrt(1/2)=e^(1/2) y(-sqrt(1/2)=e^(-1/2) y(2)=8/6-4=-8/3 Функция y(x)>= Функция возрастает от - бесконечности до нуля и убывает от 0 до + бесконечности 3) y=(2x)/(1+x^2) y ' (x)=2x/(1+x^2)-4x^2/(1+x^2)^2 Находим критические точки 2x/(1+x^2)-4x^2/(1+x^2)^2 2x(1+x^2)-4x^2=0 x=0 x=0 - критическая точка Находим вторую производную y''(x)=-12x/(1+x^2)^2+16*x^3/(1+x^2)^3 Определяем знак второй производной в критической точке y''(0)<0 Следовательно, x=0 - точка максимума Находим точку перегиба f''(x)=0 -12x/(1+x^2)^2+16*x^3/(1+x^2)^3=0 -12x-12x^3+16x^3=0 x=0 - точка перегиба выпуклостью вверх x=-sqrt(3)-точка перегиба выпуклостью вниз x=sqrt(3)- точка перегиба выпуклостью вниз Функция спадает от - бесконечности до -sqrt(3) и jn 0 до sqrt(3) и на остальных промежутках возрастает 4) y=2^(1/x) y'(x)=-2^(1/x)*ln(2)/x^2 точка x=0 - точка разрыва функция убывает от - бесконечности до нуля и от 0 до + бесконечности точки перегиба можно определить как в предыдущих заданиях
