Теорема о свойстве касательной к окружности Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, прове- дённому в точку касания. Дано: окр (О;ОА) р – касательная к окружности, А – точка касания. Доказать: р перпендикулярна ОА. Доказательство (методом от противного) Предположим, что р не перпендикулярна ОА В этом случае радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки, т.е. р – секущая. Но это противоречит условию теоремы, что р - касательная к окружности. Так как получили противоречие, то предположение, что р не перпендикулярно ОА было неверным, значит, р перпендикулярна ОА. Итак, касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Ч.т.д. Верна и теорема, обратная теореме о свойстве касательной - признак касательной. Теорема. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. Дано: окр (О;ОА), р, А принадлежит р, р перпендикулярна ОА Доказать: р – касательная к окр (О;ОА). Доказательство По условию р принадлежит ОА, ОА – радиус окружности, поэтому расстояние от центра окружности до прямой р равно радиусу ОА. Следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. А это означает, что данная прямая р является касательной к окружности. Итак, если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
