боковое ребро правильной...

Тема в разделе "Геометрия", создана пользователем MATER, 11 фев 2010.

  1. MATER

    MATER New Member

    боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно а,угол между боковыми гранями равен 2φ.найдите длину стороны основания.
     
  2. IceHammer

    IceHammer New Member

    Пусть пирамида имеет вершину S и в основании треугольник АВС.
    Для простоты обозначим неизвестную сторону основания х.
    Из точек С и В проведём к ребру АS перпендикуляры. В силу того, что грани АSC и АSВ одинаковы, эти перпендикуляры придут в одну точку К на ребре АS. Эти перпендикуляры равны: СК = ВК. Следовательно, треугольник СКВ - равнобедренный.
    Мерой двугранного угла, образованного двумя боковыми гранями  АSC и АSВ является линейный угол СКВ. Итак, уг. СКВ = 2φ
    Из вершины К тр-ка СКВ опустим высоту КД(она же медиана, она же биссектриса) на сторону ВС.
    В прямоугольном тр-ке СКД уг.СКД = φ. Половина СД стороны основания ВС равна = 0,5х  или
    0,5х = СK·sinφ.
    В тр-ке АSC, являющемся боковой гранью, высоту СК можно найти из площади
    S = 1/2 CK· AS
    или поскольку ребро AS = a, то
    S = 1/2 CK· а, откуда
    СК = 2S/а.
    Для другой боковой грани - тр-ка BSC, равного тр-ку АSC та же площадь
    S = 1/2 SД· ВС  или
    S = 0,5 SД· х.
    Из тр-ка СSД найдём SД
    SД² = SC² - CД² или
    SД² =а² - (0,5х)²
    SД =√(а² - (0,5х)²)
    Теперь пошли обратно по "жирной" цепочке
    Подставим SД в S = 1/2 SД· х и получим
    S = 0,5 √(а² - (0,5х)²)· х
    S подставим в СК = 2S/а. Получим
    СК = (х/а)·√(а² - (0,5х)²)

    Наконец, подставим СК в 0,5х = СK·sinφ.
    0,5х = [√(а² - (0,5х)²)· х/а]·sinφ.
    Преобразуем и найдём х
    х/(2sinφ) = (х/а)·√(а² - (0,5х)²)
    1/(2sinφ) = (1/а)·√(а² - (0,5х)²)
    а = 2sinφ·√(а² - (0,5х)²)
    а² = 4sin²φ·(а² - (0,5х)²
    а² = sin²φ·(4а² - х²)
    а² - 4а² ·sin²φ·=  - х²·sin²φ
    а²(4sin²φ - 1) = х²·sin²φ
    х = [а·√(4sin²φ - 1)]/sinφ - это и есть длина стороны основания

     
     
     
     
     
     
     

Поделиться этой страницей

Наша группа