в правильной четырёхугольной...

Тема в разделе "Геометрия", создана пользователем mrjack, 26 фев 2010.

  1. mrjack

    mrjack New Member

    в правильной четырёхугольной пирамиде MABCD c вершиной Mстороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. найдите плошадь сечения пирамиды плоскостью,проходящей через точку b и середину ребра MD параллельно прямой AC
     
  2. NightRover

    NightRover New Member

    искомое сечение -  симметричный четырехугольник  BPKL
    диагонали  PL , BK  пересекаются под углом 90 град
    по условию
    стороны основания  AB=BC=CD=AD =3
    боковые ребра  MA=MB=MC=MD =8
    точка К - середина ребра MD ;  KD = MD /2 = 8/2=4
    ABCD -квадрат
    диагональ  AC = BD =  3√2
    пересечение диагоналей  точка  F  :  BF =FD = BD/2 =3√2 /2 =1.5√2
    BK - медиана треугольника  MBD
    длина медианы  BK = 1/2 √(2 BM^2 +2 BD^2  - MD^2 ) =1/2 √(2*8^2 +2*(3√2)^2  - 8^2 ) =5
    по теореме косинусов
    cos KBD = ( KD^2 - (BK^2+BD^2) )/ (-2*BK*BD)= ( 4^2 - (5^2+(3√2)^2) )/ (-2*5*3√2)= 9/(10√2)
    MF - высота
    треугольник  EBF - прямоугольный
    BE = BF / cos KBD = 1.5√2 / [ 9/(10√2)] = 10/3
    по теореме Пифагора EF =√(BE^2 - BF^2) =√( (10/3)^2 - (1.5√2)^2) =√238/6
    MF - высота
    треугольник  MFB - прямоугольный
    по теореме Пифагора MF =√( MB^2 -BF^2) =√( 8^2- (1.5√2)^2 ) =√238/2
    ME =MF -EF =√238/2- √238/6= √238/3
    треугольники  MPL  ~ MCA    подобные
    PL / AC = ME /MF ; PL = AC * ME /MF = 3√2 * √238/3 /√238/2 =2√2
    площадь   сечения(четырехугольника  BPKL)     
    Sс = PL*BK *sin<BEP /2 = 2√2*5*sin90 /2 = 5√2         
    Ответ  5√2
     

Поделиться этой страницей

Наша группа