1. Две окружности...

Тема в разделе "Геометрия", создана пользователем GeрbI4, 20 мар 2010.

  1. GeрbI4

    GeрbI4 New Member

    1. Две окружности одинаковых радиусов, равных 6 см, касаются друг друга в точке А.третья окружность с центром в точке А касается первых двух окружностей. Найти радиус четвертой окружности, касающейся трех данных.
     
  2. OdOOvaN

    OdOOvaN New Member

    1. Правильно сделать рисунок. К сожалению не проходят вложения.
    Из центров окружностей - первых двух и четвертой - образуется равнобедренный тр-ик О1О2О3 с основанием О1О2= 12 и боковой стороной:
    О1О3=О2О3 = 6+х, где х - искомый радиус 4-ой окр-ти.
    Высота этого тр-ка О3А = 12-х и с другой стороны по теореме Пифагора:
    О3А^2 = (x+6)^2 - 36
    Итак получим уравнение:
    (12-x)^2 = (x+6)^2 - 36
    36x = 144   x = 4
    Ответ: 4 см.
    2. АС = 6, АВ = ВС = 5.  АN,BD,CM - высоты
    AО= CО = AD/cosa, где а = угол МСА = уголNAC = угол ABD
    cosa = BD/АВ = (кор(25-9))/5 = 4/5
    Тогда: АО = СО = 3/(4/5) = 15/4
    OD = AD*tga = 3*3/4 = 9/4
    BO = BD - OD = 4 - (9/4) = 7/4
    Ответ: 15/4;  15/4;  7/4.
    3.Центр впис. окр. - на пересечении биссектрис углов тр-ка АВС.
    r - радиус вписаной окр-ти.
    Из чертежа (надо правильно его выполнить, проведя радиусы в точки касания): отрезки до точек касания равны r/tg(A/2), r/tg(B/2), r/(tg(c/2).
    Тангенс половинного угла считается по формуле tg(a/2) = sina/(1+cosa).
     Итак в нашей задаче надо найти r и тригоном. ф-ии углов тр-ка.
    r=?   S = pr   и   S = кор(p(p-a)(p-b)(p-c)), p = (6+9+12)/2 = 27/2
    S = (27кор15)/4    r = S/p =(кор15)/2
    Функции углов:cosB = (81+36-144)/(2*9*6) = - (1/4), sinB = (кор15)/4
    По теореме синусов: 9/sinC = 12/sinB,  sinC = (3кор15)/16, cosC = 11/16.
    Аналогично: sinA = (кор15)/8, cosA = 7/8.
    Считаем тангенсы:
    tg(A/2) = (кор15)/15;  tg(B/2) = (кор15)/3;  tg(C/2) = (кор15)/9.
    Искомые отрезки равны: 15/2, 9/2, 3/2.
    Попарно по сторонам:
    Ответ:15/2 и 9/2;  9/2 и 3/2;  15/2 и 3/2.
     
     
     

Поделиться этой страницей

Наша группа