1. Площадь ромба равна S. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон ромба. 2. Две окружности сцентрами в точках О1 и О2 пересекаются в точках А и А1, а отрезки АВ и АС - их диаметры. Найдите величины углов АА1В и АА1С и докажите, что точки В, А1 и С лежат на одной прямой.
1. Соединим середины сторон всеми возможными способами. Ромб ABCD, в него вписан (как легко убедиться) прямоугольник MKLN, диагонали пересекаются в точке O. Получили 4 маленьких ромба: AMON, MBKO, OKCL, NOLD. В каждом из этих ромбов часть прямоугольника равна половине площади ромба. Отсюда площадь прямоугольника равна половине площади ромба, т.е. S/2. Ответ: S/2. 2. Углы AA1B и AA1C опираются на диаметры, а значит они равны по 90 градусов каждый. АА1 перпендикулярно А1В и А1С, значит, А1В и А1С параллельны, а т.к. они проходят через одну и ту же точку, то они совпадают. Значит, точки В, А1, С лежат на одной прямой. Ответ: 90, 90. 3. Перпендикуляры из точки О равны по одной третьей каждой высоты треугольника(теорема про пропорциональные отрезки). Найдём высоты треугольника. Есть высота АН. Пусть ВН=х, а СН=6-х. Из теоремы Пифагора: 25-х2=49-36+12х-х2; 12х=12; х=1; АН=2кор(6); ВН=12кор(6)/7; СН=12кор(6)/5. Ответ: 2кор(6); 12кор(6)/7; 2,4кор(6). 4. Угол ВСД=60, т.к. угол АСД=АВД=30(углы, оп. на одну дугу, равны.) Аналогично угол АДС=50. Углы СВД и САД равны. И равны они по: (360-30*4-20*2)/2=100 градусов. Значит, угол АВС=130, угол ВАД=120. Ответ: 130, 60, 50, 120.
